1+2^2+3^3+...+n^n=(n+1)(2n+1)/6

n=1时，上式左边=1，右边=(1+1)(2+1)/6=1=左边。等式成立；
n=2时，上式左边=1+4=5，右边=(2+1)(4+1)/6=15/6≠左边。等式不成立
由此可知，上式不正确。

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楼主是不是想证明 1+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

用科学归纳法：
1)n=1时，上式左边=1，右边=(1+1)(2+1)/6=1=左边。等式成立

2)设n=k时上式成立，即1+2²+3²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6
则n=k+1时，上式左边
=1+2²+3²+...+k²+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6
=(k+1)[2k²+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
=右边
等式成立

∴由1)和2)可知，上式对所有自然数n都成立。

1+2^2+3^3+...+n^n=(n+1)(2n+1)/6
题目有误,应是:
1+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

证明可用多种方法,但一般用数学归纳法就行了